//leetcode_62:不同路径
//一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
//        机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
//        问总共有多少条不同的路径？
//        输入：m = 3, n = 7
//        输出：28
//        示例 2：
//        输入：m = 3, n = 2
//        输出：3
//        解释：
//        从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
//        1. 向右 -> 向下 -> 向下
//        2. 向下 -> 向下 -> 向右
//        3. 向下 -> 向右 -> 向下
public class leetcode_62 {
//    动态规划
//    我们令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径
//    动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
//    注意，对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为 1
//    时间复杂度：O(m∗n)
//    空间复杂度：O(m∗n)
//    优化：因为我们每次只需要 dp[i-1][j],dp[i][j-1]

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[0][i] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

}
